为什么在 TT 坐标系中，自由测试粒子的坐标位置可以保持不变，而粒子之间的实际距离却会随引力波发生变化？形变矢量坐标分量的普通二阶导数与整个矢量的协变加速度之间有什么区别？如何将随度规扰动变化的形变矢量重新表示在固定的闵氏背景标架下，从而得到可以实际测量的相对位移？如何理解形变矢量在不同标架下分量的变化？引力波的偏振和 偏振又分别会使测试粒子产生怎样的形变？7月26日12时，《张朝阳的物理课》第二百九十一期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，围绕上述问题展开讲解。本期课程首先简要回顾了弱场近似下的引力波波动方程、平面波解及 TT 规范，说明引力波具有两个独立的偏振模式；随后重点讨论相邻自由测试粒子之间的形变矢量，分析在 TT 坐标系中粒子的坐标分离可以保持不变，而形变矢量的协变加速度仍然不为零；接着，将形变矢量从随引力波变化的标架重新表示在固定的闵氏背景标架下，由此引入能够描述实际测量结果的位移分量；最后，分别求解了 偏振和 偏振作用下测试粒子的位移变化，说明引力波如何使横向平面内的粒子交替拉伸与压缩，为理解激光干涉仪中差分臂长和光学相位响应提供了几何基础。

（张朝阳介绍可测的形变矢量分量）

平面引力波的回顾

在上一次课程中，我们推导了引力波的波动方程，引入了引力波的平面波解，并讨论了横向无迹规范，也就是 TT 规范。下面先对这些结论作简要回顾。我们采用自然单位制。

在弱场近似下，时空度规可以分解为闵氏背景度规与微小扰动之和

定义迹反转扰动

则真空中的爱因斯坦场方程在保留到 的一阶时可写为

这就是线性化引力波所满足的波动方程。在真空中，结合里奇平坦条件与洛伦茨规范条件

可以直接给出度规扰动也满足

四维坐标记为

引力波的平面波解可以写成

其中是四维矢量，是四维坐标。

考虑引力波沿 轴正方向传播，则波矢的协变分量为

相应的逆变分量为

因此，度规扰动可以写成

在 TT 规范下，平面引力波的振幅张量的型分量具有如下形式

由此可见，引力波最终只包含两个独立的偏振模式，分别由 和 描述。前者对应 偏振，后者对应 偏振。

（张朝阳回顾平面引力波）

回顾形变矢量的协变加速度

考虑空间中两个相邻的自由测试粒子。它们之间的分离矢量，也就是形变矢量，可以写为

分别考虑两个粒子所满足的测地线方程。在弱场、低速近似以及 TT 规范下，有

因此，两个粒子之间的坐标分离满足

这意味着，在 TT 坐标系中，两个自由测试粒子的坐标位置可以保持不变。然而，形变矢量（分离矢量） 不仅由分量 决定，还包含坐标基矢 。当引力波经过时，坐标基矢本身也会随时间发生变化。

度规与坐标基矢之间满足

对于沿 轴传播的平面引力波， 中的 、、 和 分量可能非零，并且随时间变化。因此，横向坐标基矢 和 也会随时间发生变化，不再是固定不变的矢量。因此，研究形变矢量 的变化时，不能只计算其分量 的普通导数，还必须同时考虑坐标基矢的变化。换言之，我们需要研究整个矢量的协变变化，而不仅仅是其坐标分量的变化。

定义形变矢量的协变速度为

协变加速度为

它们的分量分别为

以及

在低速近似下，粒子的四速度主要沿时间方向，因此

于是，协变速度的逆变分量可以写成

协变加速度的逆变分量则为

由于这里研究的是整个形变矢量 的变化，因此可与普通的矢量微积分中的导数一样

上一节课最后已经得到，这一协变加速度的分量可以具体写成

其中指的是

由此可以看出，整个矢量的协变加速度分量 ，并不等于形变矢量坐标分量的普通二阶导数

后者等于零，只说明在 TT 坐标系中，两个测试粒子的坐标分离保持不变；前者则包含坐标基矢随时空扰动发生的变化，因此能够描述引力波引起的真实几何形变。

（张朝阳回顾协变加速度）

引力波的测量及其物理含义

为了把引力波引起的形变表示成实验上可以直接理解的形式，可以使用引力波到来之前的背景标架来描述加速度

其中，表示没有引力波经过时的背景标架，是在该标架中的分量。为了与引力波到来后发生变化的标架 区分，我们在其右上角加上标记 。

在闵氏时空背景下的固定标架下，引入分量 ，使其满足

这里的 表示形变矢量在未扰动背景标架中的分量，因此可以直接用来描述测试粒子之间可测量的相对位移，它实际上是局域正交标架中测得的形变矢量（分离矢量）的分量。需要注意的是， 与原坐标基矢下的分量 一般并不相等

但是，它们表示的是同一个几何矢量，因此有

由于是闵氏时空背景标架，不会随着时间变化，在笛卡尔坐标系中，导数为零

通过

就得到了前面的

在这里我们相当于做了一个标架变换从变成了。它们之间的标架变换可以从度规分量的定义

到的一阶得到

在低速情况下，坐标时间与固有时间近似相等，即

因此

于是形变分量满足

由于 ，而 本身已经是一阶小量，因此在只保留到扰动一阶时，右端的 可以用未扰动分量 代替

（张朝阳介绍可测量的形变矢量分量）

考虑一个沿 轴传播的平面引力波。在 TT 规范下，度规扰动为

其中

代入加速度方程，得到

其中

由于只有非零，且，因此对横向空间指标 ，有

下面分别讨论两种独立偏振模式。

（1）首先考虑，则有

若 的初始速度为零，则根据，可知是常数。因此，若两个粒子的初始坐标相对速度为零，上式的解为

同理

其解为

因此， 所描述的 偏振，会在一个横向方向上拉伸测试粒子之间的距离，同时在与之垂直的方向上压缩这一距离；经过半个周期后，拉伸与压缩的方向互换。这种交替形变可以用测试粒子组成的圆环随时间变为椭圆来表示。

（张朝阳求解模式的引力波效应）

（2）考虑，加速度方程给出

相应的解为

这一偏振模式同样表现为横向平面内的交替拉伸与压缩，但其主轴相对于 偏振旋转了 。因此， 描述的是引力波的 偏振模式。

以上使用复指数表示平面波，是为了简化计算。实际可以观测到的度规扰动和位移，应取这些复数表达式的实部。

（张朝阳介绍模式的引力波效应以及引力波两种模式的效果示意图）

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