怎么定量分析热量的传导？《张朝阳的物理课》推导热传导方程
为什么描述物质演化的大多都是偏微分方程？怎么定量分析热量的传导？2月3日12时，《张朝阳的物理课》第一百一十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先横向介绍并对比了波动方程、薛定谔方程、纳维-斯托克斯方程等偏微分方程，说明了描述集体运动的方程一般都是偏微分方程，然后介绍了关于热传导的傅里叶定律，紧接着张朝阳推导了一维的热传导方程，并使用矢量分析将一维热传导方程推广到了三维情形。
借助偏微分方程 描述场的演化
之前讲解牛顿力学的时候，介绍过不少微分方程。当时处理的问题大多是单质点的动力学，研究的是质点位置随时间的变化。而随着课程深入，张朝阳介绍了越来越多的偏微分方程，从最初的关于弹性体的一维波动方程：
到电磁场的波动方程(之一)：
前者解释了声速大小，后者建立了光速与磁导率、介电常数的关系，并在一定程度上说明了真空光速不变的原理。
再往前，张朝阳介绍过的薛定谔方程也是偏微分方程：
其中的ψ是一个复值函数。而最近介绍的流体力学基本方程——纳维-斯托克斯方程也是偏微分方程：
对于均匀管内忽略重力的、水平流动的不可压缩流体，纳维-斯托克斯方程可以简化为
在之前的课程中，张朝阳曾求解过圆管内的时变流动，其中速度场与圆管轴线平行，整个系统满足绕z轴的旋转对称，因此可以只考虑半径r与时间t这两个时空坐标，并将速度场简化为标量场来处理。将速度场分解成两部分：
其中g(r,t)满足的方程为
这个形式的方程与前面的波动方程都是非常基本的二阶线性偏微分方程。
为什么一涉及到场的演化就不可避免地要使用偏微分方程呢？因为场与质点不同，场不仅会随时间改变，而且在空间不同位置上的值一般都是不一样的，因此需要借助多变量的函数才能描述场，这必然会导致偏微分方程的出现。
热流密度与温度场有关 微元法推导一维热传导方程
前面介绍的最后一个偏微分方程，其实在一个与流体力学联系不大的领域里经常会遇到，那就是传热学。于是，张朝阳开始介绍热的传导。在这次直播课里，采用了唯象的方式来理解热的传导：热量在物质内部从高温区域向低温区域流动。在热传导问题里，需要研究的目标场是温度场，它是一个标量场。
张朝阳先考虑了一维的情形。假设一个横截面积为A的均匀长棍，棍的方向取为x方向。棍子的温度分布只依赖于x。如果温度分布T(x)不是常数分布，那么热量必然会从高温处流向低温处。
取棍子的一个横截面，在单位时间内流过单位横截面积的热量被称为热流密度q，它与电流密度是类似的，只不过热量是一种能量形式，而非一种物质。热流密度的大小与温度分布随坐标的变化率有关，此关系由傅里叶定律描述：
其中κ是热传导系数。借助傅里叶定律就可以推导温度场随时间的演化方程了。为此，张朝阳考虑了棍子上x至x+Δx的微元。分析此微元两端的热流，可以知道在Δt时间内进入微元的净热量为
另一方面，根据热力学第一定律，微元内能dU的改变量满足
忽略物质的形变，可知微元对外做的功为零，因此dU = đQ，换言之，微元的内能增量等于微元获得的热量。
因为物质没有发生形变，因此内能的改变量与温度的改变量满足
式中的Cv是单位质量物质的等体热容。综合前面的分析即可得到
于是
两边消去共同的因子，并将Δt移到左边，可以得到
最后，将傅里叶定律代入即可得到一维的热传导方程
它描述了长棍上的温度随时间的变化规律。
(张朝阳推导一维热传导方程)
热流密度正比于温度梯度 矢量分析推导三维热传导方程
推导完一维热传导方程之后，张朝阳转而分析起热传导的三维情形。任取空间一个面积微元，面积大小为dA，它的单位法矢量为n，此面积微元附近的点到面积微元的距离记为l。根据一维傅里叶定律，可知流过此面积微元的热量đQ_S满足
式中的∂T/ ∂l正是温度场沿着法向n的偏导数。假设Δl在各个坐标轴的投影分别是Δx、Δy、Δz，借助微元分析可以知道∂T/ ∂l等于
所以
定义热流密度矢量q为
由于有向面积微元为
所以，根据前面的结果，单位时间内流过dS的热量为
从这些结果的形式来看，热流密度与电流密度是很类似的。这里的q=-κ▽T正是傅里叶定律的三维形式。
取一个有界区域V，其边界为闭合曲面S。借助前面的结果以及散度定理，可以知道单位时间流出此区域的热量等于
如果这个区域是一个无穷小区域，体积为ΔV，那么
类似于一维情形的分析，此处的无穷小区域的内能变化可以由单位质量热容量以及温度的变化量来表示，并且它等于同一时段内的热流量：
将热流密度q与温度梯度的关系代入，可得
方程两端同时除以Δt并取极限，即可得到三维情形的热传导方程：
(张朝阳推导三维热传导方程)
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。