北京时间2026年7月23日晚，国际数学家开幕式上，中国数学家、北京大学数学系毕业生王虹、邓煜双双获得菲尔兹奖！

这是数学界的最高奖之一，每4年颁发一次，而且只颁发给年龄不超过40岁的青年数学家。在此之前，只有丘成桐和陶哲轩两位华人数学家获此殊荣，而王虹和邓煜实现了中国人在此奖上零的突破！

你知道王虹研究的挂谷猜想是什么问题吗？这可能有点复杂，在本文中，我会从头开始，给你讲讲“挂谷猜想”的来龙去脉。准备好了吗？让我们一起完成一次数学的洗礼吧！

PART 01

挂谷问题

什么是好的数学问题？它应该具备两个特征：描述起来极度简单，但解决起来却异常困难。它的存在能吸引无数顶尖大脑去研究，从而创造出全新的理论与方法，甚至开拓出全新的数学领域。比如著名的费马大定理，以及我们今天要讲的“挂谷问题”。

挂谷宗一

挂谷问题由日本数学家挂谷宗一于1917年提出。为了让大家听懂，他讲了一个生动的故事：

一位武士，在上厕所时遭到敌人袭击。矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将棒旋转一周，也就是360°。但厕所很小，因此在转动短棒时，应当使短棒扫过的面积尽可能小，那么请问面积可以小到多少？

如果换成数学语言就是二维平面的挂谷问题：

如何将长为1的线段在平面内转过180°，使这条线段扫过的面积为最小？

注：这里转过180度与转过360度并无本质区别，因为转动两次180度就是360度。

01

绕一端旋转

普通人最容易想到的，就是把这根线段绕一端（Q点）旋转180度。此时，线段扫过的面积是一个以Q点为圆心，以1为半径的半圆。

这个方法最简单，半圆的面积是1.57，能不能让面积变得更小呢？

02

绕中点旋转

我们让这根线段围绕它的中点（O点）旋转180度，这样线段扫过的面积是以O点为圆心，以1/2为半径的圆。

这种旋转方式的面积是0.785，比上一种方法面积减少了一半。那么，面积还能更小吗？

03

在正三角形内部旋转

有数学家提出这样一种方法：让线段在一个高为1的正三角形内旋转，扫过的面积就是三角形的面积。

具体过程是这样：

① 将线段PQ放在边AB上，P点与A点重合，以A点为轴向右旋转60度，线段会扫过一个半径为1、圆心角为60度的扇形面积。

② 第1次旋转后，线段PQ会与边AC重合。将线段PQ沿边平移，使Q点与C点重合。

③ 以C点为轴向下旋转60度，线段依然会扫过一个扇形面积。

④ 第2次旋转后，线段PQ与三角形的边BC重合，同样的方法，将线段PQ平移。

⑤ 以B点为轴向上旋转60度，线段又扫过一个扇形面积。

经过3次旋转和平移，线段PQ与初始位置相比旋转了180度。在这个过程中，线段平移不会产生面积，只有三次旋转扫过了三个扇形的面积，减去重叠部分，扫过的总面积等于正三角形的面积。

这种旋转方式让扫过的面积又小了一点儿，它是挂谷问题的最小答案吗？

匈牙利科学家鲍尔证明：如果要求线段扫过的面积是凸图形，挂谷问题的最小面积确实是0.577。

匈牙利裔数学家朱利尔斯·鲍尔（Julius Pál）

如果去掉凸图形这个限制条件，面积还能更小吗？

04

内摆线

挂谷本人想到的是内摆线的方案，在这种方案中，线段扫过的是一个凹图形。

什么是内摆线？当一个动圆内切于一个定圆，在其内部做无滑动的滚动时，动圆边缘上一点划过的轨迹就是内摆线。

特殊地，当定圆的直径是动圆直径的3倍时，内摆线画出来是三个尖（三尖瓣线）。

这条曲线有个特殊性质：在任意方向，总能画出一条直线横穿三尖瓣轮廓，线段两头顶在边界上，直线又贴着曲线中间某一点相切。无论朝哪个角度旋转，这条切线长度永远不变。

当小圆直径是0.5，大圆直径是1.5时，三尖瓣图像的切线恒等于1。我们可以把挂谷问题中的线段当成它的切线，在内部旋转180度后，线段扫过的面积就是三条曲线围起来的面积。

（此处省略计算过程，感兴趣的同学可自行查阅资料）

三尖瓣方案的面积已经很小了，这也是挂谷本人对挂谷问题给出的“最终答案”，他认为面积不可能更小了。

然而，更多数学家们还在不断发现新的解法。

PART 02

无限小的面积

1928年，俄罗斯数学家贝西科维奇（Besicovitch）给出了一个让所有人目瞪口呆的答案：线段转过180度所需要的最小面积，可以无限小，无限趋近于0！

艾伯拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）

也就是说，只要方法得当，几乎不需要占用平面上的任何面积，就能让一根线段原地调头。他是怎么做到的呢，这里需要用到两个数学工具：

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鲍尔平移

众所周知，线段直接横向平移会产生巨大的矩形面积。但匈牙利科学家鲍尔提出了一种不占面积的平移方法：想把一条线段平移到旁边，可以先让它转动一个极其微小的角度𝛥𝜃，沿着新方向纵向平移（面积为0），然后再转回原方向。

因为线段只在两端转动了极小的角度，扫过的面积仅仅是两个微小的扇形。

只要𝛥𝜃趋近于0，线段平移所产生的面积就可以趋近于0。

02

佩龙树

利用鲍尔平移的原理，数学家佩龙（Oskar Perron）对贝西科维奇的结构进行了简化。

奥斯卡·佩龙（Oskar Perron）

以刚才讲到的正三角形为例，线段以A点为轴进行旋转，扫过了一个扇形。如果我们把三角形从AD处一分为二并平移叠在一起，就可以将面积再度缩减：线段先从AB边旋转至AD边，扫过面积为小扇形；接着从AD鲍尔平移至A’D’，这一步不产生面积；再从A’D’旋转至A’C，扫过面积也是小扇形。两个小扇形面积有重叠，所以面积加起来比之前更小。

依照这个基本原则，我们可以对三角形进行更复杂的分割和重叠操作。

假设我们把三角形的底边平均分成2^m份，在三角形的内部做m+1条底边的平行线，在数学上可以证明：当分割的份数m趋向于无穷大时，佩龙树的面积S会趋近于0。线段通过在佩龙树分支间的“反复旋转与零面积平移”，最终能成功转身180度！

这个能让线段转动任意方向、但面积却能趋近于0的几何图形，在平面坐标系中就是一个点集，在数学上被称为贝西科维奇集合（或挂谷集合）。

PART 03

挂谷猜想

刚刚我们讲的线段一直在二维平面内旋转，如果它可以在空间中任意旋转，那么它扫过的体积最小是多大？这就是三维的挂谷问题了。

既然在二维平面里，挂谷集合的面积可以为0，那么在三维、四维乃至更高维的空间里，挂谷集合的体积自然也可以为0。

当图形的“大小” （面积、体积等测度）失去研究意义后，数学家们开始转向另一个更深刻的几何属性——维度。

尽管挂谷集合的面积或体积为0，但它毕竟是由无数线段旋转构成的，结构非常稠密。那么它的“豪斯多夫维数”和“闵可夫斯基维数”到底是多少？由此，产生了挂谷猜想：

在n维空间中，挂谷集合的这两个维数都等于n。

小朋友们又要问了，“豪斯多夫维数” 和“闵可夫斯基维数”又是什么呢？这里简单介绍一下豪斯多夫维数。

费利克斯·豪斯多夫

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豪斯多夫维数

根据自相似性，如果一个图形可以由n个大小相同且与原图相似的小图形组成，且相似比为1:m，那么它的豪斯多夫维数就等于：

我们举几个例子来帮助理解：

一个正方形可以切成4个小正方形，它的相似比是1:2，所以豪斯多夫维数

一个正方体可以切成8个小正方体，它的相似比是1:2，所以豪斯多夫维数

我们日常生活中，点是0维，线是1维，面是2维，体是3维，这些都是整数。但在分形几何学中，维度可以是分数。比如说一种著名的分形结构——科赫雪花。

科赫雪花的每一步由4个小段组成，相似比1:3，它的豪斯多夫维数是

挂谷猜想的本质就是想证明：即使挂谷集合空隙多到体积为0，但它在n维空间里的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数依然是饱满的n维，而不是一个带有碎屑的分数维。

02

挂谷猜想的进展

1971年，数学家戴维斯（Roy Davies）成功证明了二维空间的挂谷猜想，确定二维挂谷集的两个维数确实是2。

1995年，数学家沃尔夫（Thomas Wolff）挺进三维，他证明了在n维空间中，挂谷集的豪斯多夫维数不小于(n+2)/2。当n=3时，即证明了三维挂谷集维数不小于 2.5。

托马斯.沃尔夫

1999年 ,当代顶级数学大师陶哲轩出手，他将三维挂谷集的维数下界推进到了 2.500000001。虽然只前进了极其微小的距离，但他使用的新方法具有极强的突破性，该论文直接发表在了顶级期刊《数学年刊》上。

陶哲轩

此后，三维挂谷猜想再次陷入僵局，直到2025年，中国青年数学家王虹与合作者扎尔，彻底攻克了这一难关！他们成功证明了在三维空间中，贝西科维奇集合的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数完美等于3！

王虹

约书亚·扎尔

当年陶哲轩因推进了十亿分之一而轰动一时，如今王虹团队直接摘下了这颗三维空间下的明珠，其突破性与震撼程度可想而知。这也正是为什么，王虹会成为2026年菲尔兹奖的获得者。

让我们一起恭喜王虹和邓煜，恭喜他们获得菲尔兹奖！这已经成为中国数学史上的里程碑。让我们祝福他们在未来创造出更多伟大的成就。

菲尔兹奖

1936年由加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹倡议设立，1966年起固定为每4年一届，在国际数学家大会（ICM）开幕式颁发，仅授予未满40岁（获奖当年1月1日前满40岁即失去资格）的数学家。在此之前，华人数学家中获此殊荣的只有1982年的丘成桐（美籍）和2006年的陶哲轩（澳籍）。王虹和邓煜实现了零的突破。

丘成桐

陶哲轩