写给那些，喜欢数学和不喜欢数学的人们

写给那些，了解数学家和不了解数学家的人们

序

第二部充满着历史上最最经典的定理最美妙的证明，第三部去真实地记录北大数学的这群烂人，写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生活。这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将永远是一个美好的梦。所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的事。

第一次因为数学感动,是听到大人们讲华罗庚先生的故事,不知道那时候多大,隐约记得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西,怕他们把自己的算法偷去,于是所有的东西都是心算。故事的真实性自然不可信,不过这很让小孩子神往。我要讲述的也是这么一些事情,很多都是高中和大一大二读过的,那是一段美妙的时光。美妙的东西希望大家一起分享,与人乐乐。

故事一：贝努利家族

约翰·贝努利(John Bernoulli)于1696年在一个叫做《教师学报》的杂志上公开提出了最速降线问题,挑战的矛头主要针对他的哥哥加可比·贝努利(Jacobi Bernoulli)。这两个人在学术上一直相互不忿,据说当年约翰求悬链线的方程,熬了一夜就搞定了,加可比做了一年还认为悬链线应该是抛物线,实在是很没面子。那个杂志好像是莱布尼兹(Leibniz)办的,很牛,欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后,约翰收到了5份答案,有他自己的,莱布尼兹的,还有一个洛比塔(L.Hospital)侯爵的(我们比较喜欢的那个洛比塔法则好像是他雇人做的,是个有钱人),然后是他哥哥加可比的,最后一份是盖着英国邮戳的,必然是牛顿(Newton)的。约翰自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子。”据说当年牛顿从造币厂回去,看到了贝努利的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马(Fermat)原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，加可比的做法真正体现了变分思想。

贝努利一家在欧洲享有盛誉。有一个传说，讲的是丹尼尔·贝努利(Daniel Bernoulli，他是约翰·贝努利的儿子)有一次正在做穿越欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，很谦虚地自我介绍：“我是丹尼尔·贝努利。”那个人当时就怒了，说：“那我还是艾萨克·牛顿呢。”丹尼尔此后在很多场合深情地回忆起这一次经历，把它当作他曾经听过的最衷心的赞扬。

约翰和加可比这两个贝努利家族的人,都算不出自然数倒数的平方和这个级数,欧拉(Euler)从他老师约翰那里知道了这个问题,并且给出了 这个正确的答案。欧拉是他那个时代最伟大的数学家。

法国有一个很著名的哲学家,叫做狄德罗(Denis Diderot),是个无神论者,这个让叶卡捷琳娜女皇不爽,于是她请欧拉来教育一下狄德罗。其实欧拉本来是弄神学的，他老爸就是，后来是好几个叫贝努利的来劝他父亲，他父亲才让欧拉做数学了。欧拉邀请狄德罗来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，为此，他在众人面前说：“先生，(a-bn)/n=x，因此上帝存在；请回答！”狄德罗自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家。他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……

故事二：四色定理

一次拓扑课上，哥廷根大学数学教授闵可夫斯基（Minkowski）向学生们自负地宣称：“这个定理没有证明的主要原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”于是闵可夫斯基开始拿起粉笔。这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，闵可夫斯基继续证明，一直几个星期过去了……。一个阴霾的早上，闵可夫斯基跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，闵可夫斯基很严肃地说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的。”

1942 年的时候，数学家莱夫谢茨（Lefschetz）去哈佛大学做了个报告，伯克霍夫(Birkhoff)是他的好朋友,讲座结束之后,就问他最近在普林斯顿大学有没有什么有意思的东西。莱夫谢茨说有一个人刚刚证明了四色猜想。伯克霍夫严重地不相信,说要是这是真的,就用手和膝盖,直接爬到普林斯顿大学的Fine Hall去。Fine Hall是普林斯顿大学的数学楼。

故事三：做数论的人

由于费尔马(Fermat)大定理的名声,在纽约的地铁车站出现了乱涂在墙上的话:

没有解,对此我已经发现了一种真正美妙的证明,可惜我现在没时间写出来,因我的火车正在开来。

希尔伯特(Hilbert)曾有一个学生，给了他一篇论文来证明黎曼(Riemann)猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，希尔伯特还是被深深地吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事就死了，希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不自胜。希尔伯特开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，希尔伯特说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明黎曼猜想，再接下来，希尔伯特继续热烈地冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数……”众人皆倒。

有一个人叫做沃尔玛凯勒(Paul Wolfskehl), 大学读过数学, 痴狂地迷恋一个漂亮的女孩子, 令他沮丧的是他无数次被拒绝, 感到无所依靠, 于是定下了自杀的日子, 决定在午夜钟声响起的时候, 告别这个世界, 再也不理会尘世间的事。沃尔夫凯勒在剩下的日子里依然努力地工作, 当然不是数学, 而是一些商业的东西, 最后一天, 他写了遗嘱, 并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故, 在午夜之前, 他就搞定了所有的事情, 剩下的几个小时, 他就跑到了图书馆, 随便翻起了数学书。很快, 他被 Kummer的一篇解释哥西(Cauchy)等前辈做费尔马大定理为什么不行的论文吸引住了。那是一篇伟大的论文, 适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。沃尔夫凯勒竟然发现了Kummer的一个错, 一直到黎明的时候, 他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止, 于是一切皆成烟云……, 这样他重新立了遗嘱, 把他财产的一大部分设为一个奖, 奖给第一个证明费尔马大定理的人10万马克……, 这就是沃尔夫凯勒奖的来历。

故事四：哥廷根的传说

1854年,黎曼(Riemann)为了在哥廷根(这是二战之前数学和物理的中心,德国著名的学府)获得一个讲师的席位,发表了他划时代的关于几何学的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员,对于数学根本就不懂,黎曼在演说中仅仅用了一个数学公式。韦伯(Weber)回忆说,当演说结束后,高斯(Gauss)带着少见的表情激动地称赞黎曼的想法。如果读读黎曼的讲稿,就会发现那几乎就是哲学。当时的观众中只有一个人可以理解黎曼,那就是高斯。而整个数学界,为了完善消化黎曼的这些想法,花费了将近100年的时间。

有人说，黎曼的著作更接近于哲学而不是数学。甚至在一开始，欧洲的很多数学家认为黎曼的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次，赫姆霍尔兹(Helmholz)和魏尔斯特拉斯(Weiestrass)一起外出度假，魏尔斯特拉斯随身带了一篇黎曼的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静地研究这篇他认为是复杂又宏伟的作品。但是赫姆霍尔兹大惑不解，他认为，黎曼的文章再明白不过了，为什么魏尔斯特拉斯作为数学家要这么花功夫呢？

克莱茵(Klein)上了年纪之后,在哥廷根的地位几乎就和神一般,大家对他敬畏有加。那里流行一个关于克莱茵的笑话。说哥廷根有两种数学家,一种数学家做他们自己要做但不是克莱茵要他们做的事;另一类数家做克莱茵要做但不是他们自己要做的事。这样克莱茵不属于第一类,也不属于第二类,于是克莱茵不是数学家。

维纳（Wiener）去哥廷根拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，询问教授先生是否在家。女管家训斥道：“枢密官先生在家。”一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位，譬如说牛顿(Newton)。维纳见到克莱茵的时候，感觉就像去拜佛，后者高高在上。维纳的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。

故事五：希尔伯特的故事

大卫·希尔伯特(David Hilbert)并不是哥廷根毕业的。19世纪80年代,柏林大学的博士论文答辩,需要2名学生作为对手(他们向你不停地发问)。希尔伯特的一个对手叫埃米尔·魏恰特(Emil Wiechert),后来是最著名的地震学家。那时气候,德国(也许叫做普鲁士)的大学教授特别少。柏林只有3名数学教授,一般的大学至多2个。

在希尔伯特的博士宣誓仪式上,校长主持说:“我庄严地要你回答,宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证:你将勇敢地去捍卫真正的科学,将其开拓,为之添彩;既不为厚禄所驱,也不为虚名所赶……”很想知道现在中国的授予博士仪式是不是也有类似的话。

有一次,上了年纪的希尔伯特见到一群年轻人正在谈论一个他知道的数学家。那时候,像闵可夫斯基这些他很熟悉的人,有很多都已经故去,所以他特别关心正在被谈论的这个人。当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后,他就问道:“他还‘存在’么……”。

一次在希尔伯特的讨论班上，一个年轻人在报告中用了一个很漂亮的定理，希尔伯特说：“这可真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀，是谁发现的？”那个年轻人茫然地站了很久，对希尔伯特说：“是您……”。

哥廷根广为流传着一个关于闵可夫斯基的故事。说是他在街上散步时，发现一个年轻人正在默默地想着某个很重要的问题，于是闵可夫斯基轻轻地拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是肯定的”，年轻人感激而笑。

故事六：费尔兹奖章的用途

先介绍一个人——阿尔夫斯(L.V. Ahlfors)。他和另一个美国的数学家共同分享了第一届的费尔兹奖(费尔兹奖就相当于数学的诺贝尔奖)。我知道他的一部分工作就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系。他把曲率之类的几何概念引入了复分析，给出了施瓦茨引理的几何上的漂亮解释。同时，他在共形映射、黎曼曲面领域都有非凡贡献。

下面是一个很传奇的事情，希望那些认为数学“没有用”的看看数学家是如何认为数学是有用的。阿尔夫斯说以下这些话时，正处受封锁的二战时期。“费尔兹奖章给了我一个很实在的好处，当被允许从芬兰去瑞典后，我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元钱。我翻出了费尔兹奖章，把它拿到当铺当了(!!!!)，从而有了足够的路费……我确信那是唯一一个在当铺里呆过的费尔兹奖章……”

故事七：哥廷根的传说（2）

外尔(H. Weyl)刚去哥廷根的时候，被拒之“圈”外。所谓的圈，是指特普利茨(Toeplitz)、施密特(Schmidt)、赫克(Hecke)和哈尔(Haar)等一群年轻人。大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉。一次，大家在等待希尔伯特来上课，特普利茨指着远处说：“看那边的那个家伙，他就是外尔先生。他也是那种考虑数学的人。”就这样子，外尔就不属于“圈”这个集合了。这个故事是柯朗(R. Courant)讲的。当时哈尔是希尔伯特的助手，哥廷根的人们无一不认为他将是那种不朽的数学家。但是事实证明，外尔的伟大无人能比，尽管哈尔在测度论上贡献突出，但是柯朗还是说他和外尔“根本没法相比”。

后来成为钱学森导师的冯·卡门(von Karman)通过哈尔的介绍来到哥廷根，等到哈尔去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖。外尔和冯·卡门同时爱上了一个才貌双全的女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女孩子选择了外尔。圈外人外尔再一次证明了他的优秀。

故事八：哥廷根的传说（3）

开始讲一下艾德蒙·朗道(Edmund Landau)的故事，另一个著名的朗道是俄国的物理学家，后面也会谈到。艾德蒙·朗道是后来的哥廷根的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。曾有人问他怎么能在哥廷根找到他的住处，他很轻描淡写地说：“这个没有任何困难，因为它是城里最好的那座房子。”

1909-1934年的数学系系主任就是艾德蒙·朗道了。朗道的工作习惯很奇怪，用6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了费尔马大定理的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的：

亲爱的______

谢谢您寄来的关于费尔马大定理的证明。

第一个错误在______页______行。这使得证明无效。

艾德蒙·朗道

尽管有很多的稿件都退回了，但据说剩下的还有3米多高。

朗道是比较自大的那种人，根本看不起物理、化学之类，甚至看不起应用数学。他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次，斯坦豪斯(Steinhaus)的博士考试需要一个天文学家的提问。朗道似乎很关心，就问斯坦豪斯都被问了什么问题。当知道被问的问题是有关三体问题的微分方程的时候，他大声地说：“啊，如此说来，他竟然知道这个……”

故事九：哥廷根的故事（4）

戴恩(Dehn)是希尔伯特最得意的弟子之一，曾经率先解决了一个希尔伯特的问题。戴恩离开哥廷根，躲避纳粹追捕的时候，经过苏联。换火车时，在海参崴逗留了一阵，闲来无事就去了当地的图书馆。这里的数学书仅仅占了一个架子，且全部都是“施普林格”的黄皮书(施普林格应该说是对数学物理的传播发展推动最大的出版社了)。

庞加莱(Poincare)也曾去哥廷根演讲，顺便攻击了一下康托(Cantor)的集合论。他演讲的时候策梅罗坐在靠近他脚边的位子上，当时策梅罗(Zermelo)恰好证明了每个集合都可以良序化，然而庞加莱并不认识策梅罗，他大喊道：“策梅罗那个几乎独创的证明也应该彻底地毁掉，扔到窗外去！”策梅罗本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。柯朗(Courant)甚至认为策梅罗一定会在那天吃正餐的时候杀死庞加莱。

卡拉特奥多(Caratheodory)是希腊的一个富人子弟，在测度论等很多方面有着重要的贡献。北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师，26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是哥廷根。

奥斯古德(W. F. Osgood)原来是哈佛大学的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿。他也是哥廷根毕业的，娶了一位德国姑娘，在美国也保持着德国的传统。大概是受哥廷根的影响太大，奥斯古德做事都模仿克莱因。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停地用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。

故事十：广义相对论

阿尔伯特·爱因斯坦构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多黎曼几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去哥廷根给希尔伯特等很多数学家做过几次报告。走后不久，希尔伯特就算出来了那个著名的场方程（希尔伯特的数学当然比爱因斯坦好很多）。不久，爱因斯坦也得出来了。有人建议希尔伯特考虑这个东西的署名权问题，希尔伯特很坦诚地说：“哥廷根马路上的每一个孩子，都比爱因斯坦更懂得四维几何。但是，尽管如此，发明相对论的仍然是爱因斯坦而不是数学家。”

据说，爱因斯坦的场方程的第一个球对称的解，也就是施瓦茨查尔德(Schwarzschild)解，是同名的这个人，在一战的战壕里给出的。施瓦茨查尔德是哥廷根大学天文学的教授。艾丁顿(Eddington)是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的。爱因斯坦的广义相对论发表没有多久，有记者去采访艾丁顿，说：“听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？”艾丁顿低头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，艾丁顿说：“我正在想谁是第三个人……”

似乎每一个大人物都以和爱因斯坦交谈过而感到无比的光荣。杨振宁曾说，他当初见爱因斯坦的时候，过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么，而爱因斯坦又说过什么；列夫多维奇·朗道，苏联最伟大的那个物理学家，说自己当年参加某会议的时候，有幸和爱因斯坦说过几句话。但是某个认识朗道的人说他纯属幻想。当时此人和朗道一起，坐在那次开会的大厅的最后几排，连听都听不清，根本不可能谈话。可见朗道对爱因斯坦的景仰程度。

故事十一：爱因斯坦和数学家的故事

意大利的数学家列维奇维塔(Levi-Civita)在弯曲空间上的几何学上做出了突出的贡献。爱因斯坦描述广义相对论所用的数学就是这种几何学。所以，有人问爱因斯坦他最喜欢意大利的什么，他回答是意大利的细条实心面和列维奇维塔。

明可夫斯基(Minkowski)曾是爱因斯坦的老师。那时，爱因斯坦旷过无穷多的课，以至于多年后，明可夫斯基得知爱因斯坦的理论时，不禁感叹道：“噢，爱因斯坦，总是不来上课——我真想不到他能有这样的作为。”

一次，哈尔莫斯（P. Halmos）和妻子遇到了爱因斯坦和他的助手。爱因斯坦很想知道“她”是谁，助手就说是哈尔莫斯的妻子。然后爱因斯坦又问哈尔莫斯是谁……这是哈尔莫斯最没有面子的一次。

故事十二：冯·诺伊曼的故事（1）

讲完了爱因斯坦，接着讲冯·诺伊曼这个造计算机的数学家应该是符合道理的。当我们每次用电脑打游戏的时候，就应该对冯·诺伊曼示以最崇高的敬意。

冯·诺伊曼的就业态度: 冯·诺伊曼移居美国的动机, 很是特别。他用了一种自己认为合理的方法, 发现在德国将来的3年中, 教授职位的期望值是3, 而候补人数的期望为40, 这是一个不理想的就业前景, 所以到美国去势在必行。这就是他的根据, 当时并没有涉及到政治形势。

冯·诺伊曼曾经被问到一个估计连中国小学生都很熟的问题——两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少米的这种。应该是先求出相遇的时间，再乘狗的速度就得到答案了。如果没有记错的话，小时候听说苏步青先生在德国的一个公共汽车上，也被人问到这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。冯·诺伊曼也是瞬间给出了答案。提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧（他指的是上面的这个解法）！冯·诺伊曼说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑的都算出来，然后算出那个无穷的级数……”

故事十三：冯·诺伊曼的故事(2)

1927年,巴拿赫(Banach,波兰天才数学家)参加了一个数学聚会,他伙同众多数学家,一起用伏特加酒灌冯·诺伊曼。冯·诺伊曼最终不胜酒力,跑去厕所,估计是去呕吐。但是巴拿赫回忆道,当冯·诺伊曼回来继续讨论数学的时候,他的思路丝毫没有受到影响。

冯·诺伊曼的年纪比乌拉姆(Ulam)要大一些,不过两个人是最好的朋友,而且经常在一起谈论女人。他们坐船旅行时,除了讨论数学,就是旁边的美女。每次冯·诺伊曼都会说:“她们并非完美的。”一次,他们在一个咖啡馆里吃东西,一位女士优雅地走过。冯·诺伊曼认出她来,并和她交谈了几句。他告诉乌拉姆,那是他的一位老朋友,刚离婚。乌拉姆就问:“你干吗不娶她?”后来,他们两个真的结了婚。

一次,普林斯顿举行物理演讲,演讲者拿出一个幻灯片,上面极为分散地排列着一些实验数据,并且他还试图说明这些数据是在一条曲线上。冯·诺伊曼大概很不感兴趣,低声抱怨道:“至少它们是在同一个平面上。”

故事十四：天才数学家

下面是历史上最天才的几个数学家在时间轴上存在的长度：法国数学家帕斯卡(Pascal)——39岁；印度数学家拉马努金(Ramanujan)——31岁；挪威数学家阿贝尔(Abel)——27岁；法国数学家伽罗华(Galois)——21岁；德国数学家黎曼(Riemann)——39岁。由此可见，身体很重要。

据说, 帕斯卡14岁的时候,就已经出席了法国高级数学家的聚会;18岁时,发明了一台计算机,也就是现在计算机的始祖。尽管如此,帕斯卡成年之后最终致力于神学。他认为上帝对他的安排之中不包含数学,所以就完全放弃了数学。35岁的时候,帕斯卡牙疼,不得不思考一点数学问题来打发时间。不知不觉间,竟然疼痛全无。帕斯卡认为这是上天的安排,所以又开始做数学家。然而,帕斯卡这次复出的时间不到一周,但是他已经发现旋轮线最基本的一些性质。而后,他继续研究神学。神学也是牛顿最终的选择。

故事十五：两位姓柯的数学家

柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)是前苏联最伟大的数学家之一,在很多的领域都做出了开创性的工作;柯西(Cauchy)就不用介绍了——从中学开始,我们就已经认识了这个法国人。今天我们来说说这两个姓柯的牛人。

首先说柯尔莫戈洛夫关于数学天赋的见解；当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下，要知道后面那个亚历山大罗夫(Aleksandrov)是很伟大的一个数学家。柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止得越早，这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”柯尔莫戈洛夫认为自己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而亚历山大罗夫是16岁。

拉格朗日(Lagrange)曾经预见了柯西的天才，苦心地告诫柯西的父亲，一定不要让柯西在十七岁之前接触任何数学书籍。这个非常像当年某些人不让张无忌学武功(好像有点不恰当)。

故事十六：数学家作为教师的生涯

大部分出名的人物讲课都不太出色，或者说偶尔会很失败，譬如牛顿。他当初经常面对着空空的讲堂，因为他讲的东西一是不太清楚，二是太难，所以剑桥的学生没有人喜欢他的课。

从一些大家不是太熟悉的人讲起。孟得尔布罗特(B. Mondelbrolt, 1924-2010)是靠画分形出名的。而他的叔叔曼得尔布罗特(Mandelbrojt)是个更为出色的数学家,曾经是布尔巴基(Bourbaki)最早的几个成员之一。叔叔做学生的时候,大老远从波兰到法国读数学,然而去了之后,却在精神上受到了严重的伤害,因为他选了古尔萨(Goursat)的分析课。古尔萨在课上永远用一种语气,讲述二三十年前就有的旧东西。听了三周左右的课,曼得尔布罗特感觉和自己梦想当中的相差甚远,竟然哭了出来。几年后,伯恩斯坦来到巴黎，安慰他说古尔萨二十多年前就这么讲课。不过古尔萨对人是很热情的。遥想当年曼得尔布罗特那求知的热情，是多么的纯真。那种东西，似乎再也不属于我们这个时代了。

其实还是有讲课不错的数学家的。尽管勒贝格(Lebesgue)开始研究的东西很奇怪,不过他讲的课确是出奇地受欢迎;皮卡(Picard)则是个古怪高傲的人,他和老丈人厄米特(Hermite)都对分析很感兴趣。和勒贝格在一起,是一件很开心的事。据说,勒贝格的课总是有无穷多的人去听,其中大部分人是因为勒贝格讲课不但深刻,而且很有意思。一次,一个国外的学者来法国报告自己的工作,勒贝格说你不用报告了,我替你报告吧。

皮卡(Picard)总给人一种高不可攀的感觉,令人不敢接近。每次皮卡上课的时候,前面总有一个戴着银链子的校役引路,他高傲地踱入教室,喝一口放在椅子上的水杯中的水,然后开始讲课,大约半个小时,他再喝一口水,一个小时以后,那个戴银链子的校役就会来请他下课。

据说, 证明了 π的超越性的林德曼 (Lindemann) 是历史上讲课最烂的几个人之一。此处收集有关他的故事两则, 一个是说他讲课, 另一个是回忆他在巴黎求学的两件小事, 还是蛮可爱的。

传说大部分情况下,林德曼讲的课根本就不听不清;听清的部分大多是不可理解的,听不懂的话;少数情况下,他讲的又清楚又让人听得懂的话往往又是错话。林德曼到巴黎学习的时候,听过伯特兰(Bertrand)和约当(Jordan)的课。当时学数学的人很少,尽管约当在法国也算是领袖级的数学家,但听他课的人只有3个,偶尔会达到4个,其中一个还是因为教室里暖和。林德曼还曾拜访过厄米特，厄米特家里有一把椅子，是当年雅可比(Jacobi)坐过的。这让林德曼很难忘。

罗塔(Rota)曾讲了一个有关莱夫谢茨的故事，关于他的课是如何难懂的故事。莱夫谢茨讲话经常语无伦次，他在几何课上的开场白如下：“一个黎曼曲面是一定形式的豪斯道夫(Hausdroff)空间。你们知道豪斯道夫空间是什么吧？它也是紧的。好了，我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么，现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理，黎曼-罗奇定理。”要知道第一节黎曼曲面的课如果这样进行的话，恐怕黎曼复生也未必可以听懂。

维纳 (Wiener) 尽管是个天才, 却是不善于讲课的那种, 总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的故事: 维纳天真地认为自己懂一种汉语。一次, 在一家中国餐馆, 他终于有了施展的机会, 但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后, 维纳不得不评论道: “他必须离开这里, 他不会说北京话……。”

故事十七：法国数学家的故事 (1)

法国的数学家故事多就可想而知了。从最天才的人谈起，他就是群的创始人——伽罗华(Galois)。

伽罗华一共参加了两次法国高等理工 (Ecole Polytechnique) 的考试。第一次，由于口试的时候不愿意做解释，并且显得无理，结果被拒了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都是马马虎虎，一般懒得写清楚，并且拒绝采用考官给的建议。第二次参加高等理工的考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet 感到困惑，后来伽罗华感觉很不好，一怒之下，把黑板擦掷向Dinet，并且直接命中。伽罗华的天才是不可否认的，不过性格却不甚完美，而后者在高等理工考试中很重要。最后和伽罗华决斗的那个人，是当时法国最好的枪手，伽罗华的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候，相距25步，伽罗华被击中了腹部。

在一次法国国王接见柯西(Cauchy)的时候，他有五次回答国王的问题时都这样说：“我预料陛下将问我这个问题，所以我准备好了答案。”然后，他从口袋里拿出笔记本，照本宣读。

法语是一种让人恐怖的语言。伯克霍夫(Birkhoff)是上个世纪初美国最著名的数学家之一，一个西方人学习法语，按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候，还是遇到了麻烦。

哈达玛(Hadamard)曾在法国主持讨论班，有很多人慕名而来，伯克霍夫就这样子来到了法国，不过他的法语实在太差。那几天，巴黎一直下雨，一天伯克霍夫见到了曼德尔勃罗伊(Mandelbrojt)问：“一周…几次？”大概中间的词他不会发音。曼德尔勃罗伊说：“两次。”“什么，两次？”“是呀，礼拜二和礼拜五。”“怎么可能呢？”“下午三点半开始，五点之前就结束了。”“这个绝对不可能！！！”这个时候伯克霍夫已经快疯了。

故事十八：法国数学家的故事 (2)

说三个可爱的法国数学家爷爷当年的事情，一个是哈达玛，他是最出色的法国数学家之一，无论在几何、分析哪个方面，都是那种经常用名字来修饰“定理”这个词的人；另一个是勒贝格(Lebesgue)，他是实变函数论的创始人，其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做蒙特尔(Montel)，他相对于前两个人不是那么出名，不过在复分析当中有一个极其重要的概念，叫做蒙特尔正规族，就是用他的名字命名的。

这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的(Ecole Normale Superieure)。哈达玛是他们那一届的第二名，他一生都对那个第一名不忿，尽管那个人作为数学家来说和他绝对不是一个档次；勒贝格和蒙特尔是同一级的学生，分别是当年的第三和第二名，两个人一生都是很好的朋友，据说那个他们同一届的第一名仍然在数学方面和他们不能相提并论。

先说哈达玛的诡异嗜好。他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者，一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集这些东西，把妹妹放在一个冰河旁边，采完了之后就自己兴冲冲地回家了；他这种马虎的习惯一直改不掉，到了40岁的时候，他成功地在忘了带护照的情况下，从法国动身去了美国。当然，蕨类植物也是他一生的最爱。老年的时候，他去莫斯科访问，柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和亚历山德罗夫(Aleksandrov)陪同他坐船，哈达玛忽然很兴奋地让他们靠岸，自己激动地站在船头，最后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物。

再说勒贝格和蒙特尔，他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发生。

一次，勒贝格打电话（那个时候有电话，大概很富有了）给蒙特尔讨论一个事情，两个人各持己见，吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）也没有结果。第二天早上，勒贝格又给蒙特尔打了一个电话，说我开始同意你的说法了，然而蒙特尔说我也同意你的了，于是又开始争吵。

故事十九：几何和数学的神圣

穿过柏拉图学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是：“不懂几何者请勿入内。”

下面讲一个和倍立方有关的小故事，也就是如何用直尺圆规做一个正方体，使它的体积是给定的正方体的两倍。当然这个问题用一点域扩张的知识，就可以证明是做不到的，和三等分已知角一样的。最初，在雅典流行瘟疫，人们很恐慌，就去求助于神，神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方体神坛重新建为一个体积是原来两倍的神坛。按照古希腊的规矩，就是要用尺规作图。于是大家去问柏拉图(Plato)，柏拉图说这是神的旨意，用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。

回过头来说法国，法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。拉格朗日（Lagrange）写出了他著名的分析力学的书的时候，就骄傲地宣称书中“没有一个图”；魏依(A.Weil)在教师资格考试时，理论力学交了白卷，他认为那根本不算数学。魏依就是这个样子，皮埃尔·卡瑞尔(Pierre Carier)曾经问他哥廷根的事情，提到量子力学的时候，魏依根本不知所云，尽管当时希尔伯特、博恩(Bohn)、海森堡(Heisenberg)都在做量子论。后来，谢瓦莱(Chevally)和魏依在悼念外尔(Weyl)的时候，根本不提外尔的物理学的成就，然而大家公认外尔最有名的两本书一本是关于相对论，一本是关于量子力学。

故事二十：黎曼的故事

今天写伟大的却仅活到39岁的黎曼(Riemann)。在一百多年后的今天，他的思想还是能够让人们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意。

因为家里特别的穷，所以黎曼从小体弱多病。黎曼的父亲是个牧师，他也打算做牧师。有一个人（据说是黎曼的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部勒让德（Legendre）的数论书。勒让德是一个伟大的法国数学家，他的书十分晦涩难懂。六天之后，黎曼就找到那个人把这本859页的名著还了，说：“这本书的确十分精彩，我已经看懂了。”这个时候黎曼只有14岁。

黎曼19岁的时候去哥廷根读神学，平时也会听一些数学的课程，他比较喜欢泡在图书馆里。一次，他在那里找到了柯西(Cauchy)的分析著作，如获至宝。读完之后，他便坦然地决定放弃神学，从此开始读数学了。

故事二十一：数学家的刻苦

昨天有人批评说这个系列的文章有一种过分吹捧天才的倾向，我觉得批评得特别有道理。每一个数学家的成功除了他们的天分之外，更加让人们钦佩的是他们完全忘我的疯狂如自杀般的工作。

今天举两个牛人。西格尔(Siegal)是那种很聪明又很努力的，而小平邦彦(Kunihiko Kodaira，1954年菲尔兹奖和1984年沃尔夫奖得主)曾经说自己天资不好，但是他从中学开始就是那种做事情一丝不苟全身心投入的人。他回忆自己第一次学习范·德·瓦尔登的《代数学》，几乎学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止。由此可见菲尔兹奖得主的学习方法也不见得先进，唯手熟尔。

西格尔曾经说过，他可以从早上9点起研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。西格尔被小平邦彦称为“非常勤奋”，被小平邦彦称为勤奋的人，可见其勤奋程度是何等可怕。

小平邦彦一天的生活(1949年4月19日)：8:00起床，剃须，穿西服，外出早餐(玉米片，牛奶，咖啡)；散步到研究所，大约9:30；9:40至10:40：西格尔的关于三体问题的课；11:15至12:00：外尔的讨论班；到食堂吃午饭；坐车去普林斯顿，1:20至2:20：在自己的讨论班上讲论文；回家继续写论文；5:30：到街上的餐馆吃饭；回家继续工作到深夜。