【编者按】安德烈·韦伊（André Weil），作为二十世纪最伟大的数学家之一，其生平充满传奇色彩，思想极具哲学深度。他不仅以个人的卓越成就闻名，更以其宏大的数学视野，深刻地重塑了现代数学的主流面貌。为回应读者的热情，本文对原作品进行了大幅修订，突出两点：一是力求全面，补充了更多反映其生平与性格的珍贵细节；二是强调其开创性贡献的历史影响。理解韦伊，即是理解现代数学演进的一条核心脉络。

安德烈·韦伊

在20世纪数学的星空中，安德烈·韦伊（André Weil，1906-1998）无疑是一颗光芒四射、引力巨大的恒星。作为二十世纪最伟大的数学家之一，他不仅以其深邃的数学思想照亮了代数几何与数论的广袤疆域，更以其特立独行的生命轨迹，诠释了一位纯粹学者对知识与真理的不懈朝圣。

他是一位真正的开拓者，其涉猎之广、贡献之著，在国际数学会公认的纯数学10个大领域中，至少有5个领域——代数、数论、代数几何、拓扑、数学史等——都做出了显著贡献。他的一生，是智力、勇气、传奇与深邃思考交织的史诗。

01 早慧之光与精神的摇篮

1906年，韦伊出生于巴黎一个学识渊博的犹太人家庭。父亲是医生，原籍阿尔萨斯；母亲生于俄国，有奥地利血统。妹妹西蒙娜·韦伊（Simone Weil，1909-1943）后来成为影响深远的神秘主义思想家。

兄妹二人虽最终走向不同道路——一位沉入数学的绝对理性，一位投身宗教与社会的终极关怀——但始终保持着深厚的精神纽带。妹妹的早逝是韦伊心中持久的隐痛，他后来倾力整理出版她的遗作，这份手足之情，是他理性世界背后一抹深沉的人文底色。

韦伊是名副其实的神童，读书极为广泛，到少年后期已是一位极具修养的人。1921年，他已精通希腊语、拉丁语，并掌握了一些德语、英语和少量的梵文（后来他还学习了更多语言）。这种对古典语言的强烈爱好与天赋，预示着他未来治学中那种追本溯源的史家眼光与跨越文化壁垒的从容。

雅克·阿达马

同年，他被推荐给数学大师雅克·阿达马（Jacques Hadamard），从此断断续续地得到后者的指导。他坚信阅读名著的重要性，并在数学及其他感兴趣的学科中践行这一点，1922年他便开始研读黎曼（Bernhard

Riemann）的著作。

与此同时，他的数学才华势不可挡。1922年，年仅十六岁的他便踏入了法国学术的圣殿——巴黎高师。这里汇聚了当时最聪明的年轻头脑，韦伊与亨利·嘉当（Henri Cartan）、让·迪厄多内（Jean Dieudonné）、让·德尔萨特（Jean Delsarte）等人结下的友谊，为日后一场数学风暴的掀起埋下了伏笔。他在高师期间接触到的印度史诗《薄伽梵歌》的核心思想，成为他个人哲学的基础，并反过来深刻影响了他二战期间的行为抉择。

他的特立独行在毕业时已露端倪：在1925年的学衔考试中，他竟在理论力学交了白卷，只因他认为那“不是数学的一部分”。这种对知识纯粹性与自主性的执着，贯穿了他的一生。

02 游学与奠基：从莫德尔定理到布尔巴基的诞生

毕业后，韦伊开始了广泛的游学。1925-26年，他在意大利呆了六个月，维托·沃尔泰拉（Vito Volterra）充当其非正式导师，他于此开始深入学习代数几何。

这一年，他接触到了L.J.莫德尔（Louis J.

Mordell）1922年的论文，该文证明了定义在有理数域Q上的椭圆曲线的Q有理点构成的阿贝尔群是有限生成的。韦伊敏锐地察觉到这与自己一年前的某些想法相关，并看到了将费马无限下降法推广到更一般情形的可能性。

接下来的一年，他在德国进行研究，导师是库朗（Richard Courant），同时也向埃米·诺特（Emmy Noether）、西格尔（Carl Ludwig

Siegel）、霍普夫（Heinz Hopf）等众多学者学习。他还曾赴瑞典为米塔-列夫勒（Gösta

Mittag-Leffler）工作一个月，后者承诺其论文可在《数学学报》上发表。1927年夏，他回到巴黎参加阿达马讨论班，全力投入关于丢番图方程的国家博士论文研究。1928年，年仅二十一岁的韦伊迅速完成了论文并获得科学博士学位。

他的博士论文取得了重大突破。他洞察到纷繁计算背后的一般性原则，提出了 分解定理 ，并最终证明了关于曲线雅可比簇（Jacobian）上有理点群的有限生成性定理，其推论便是著名的莫德尔-韦伊定理（Mordell-Weil

Theorem）。

早在1922年，莫德尔（Mordell）证明椭圆曲线（亏格为1的代数曲线）上的有理点构成有限生成群，并猜想更高亏格曲线应仅有有限个有理点。韦伊在罗马了解到该问题后，于哥廷根期间形成关键思路：

他将自身在丢番图几何中的工具与莫德尔定理结合，最终将该定理从有理数域推广至任意代数数域，从椭圆曲线推广至更一般的代数结构。

该成果成为20世纪数论的里程碑，它不仅推广了莫德尔的结果，更重要的是，为一个领域奠定了新的范式，引导了后来西格尔、法尔廷斯（Gerd Faltings）等人的重大突破。他最初依赖于分析工具（Θ函数）来克服当时代数几何工具的不足，展现了他融合不同领域智慧的卓越能力。

更为深远的是，韦伊是推动20世纪数学走向抽象与统一的巨匠。他深刻地认识到，许多具体的数论与几何问题背后，隐藏着普遍而深刻的结构。他与布尔巴基（Nicolas Bourbaki）学派的同事们共同倡导并实践以公理化、结构化的方式重建数学基础，这实质上引领了抽象数论与抽象代数几何的潮流，重新定义了主流数学的研究范式，将数学的重心从具体计算转向了对内在结构的深刻探索。

完成兵役后（1928-29年，以海军中尉军衔结束），韦伊在梵文导师西尔万·莱维（Sylvain

Levi）的帮助下，远赴印度阿里格尔穆斯林大学任数学教授两年（1930-32年初）。在此期间，他的研究触角伸向多个方向：将遍历性思想与冯·诺依曼（John von Neumann）的算子理论结合，得到了L²意义上的遍历定理；研究多复变函数，推广了柯西积分公式（后来的韦伊积分），这项工作解决了伯格曼（Stefan

Bergman）提出的一个问题，并对冈洁（Kiyoshi Oka）后续的研究起到了作用。

回国后，他先后在马赛大学（1932-33）和斯特拉斯堡大学（1933-39）任教。在斯特拉斯堡，他与老友亨利·嘉当重聚，并回到了激发智力的数学环境。他与遍布法国的数学家在巴黎发起了一个讨论班，由G.朱利亚（Gaston

Julia）借出名义以方便借用场地，这便是著名的朱利亚讨论班，二战后演变为更具影响力的布尔巴基讨论班。

布尔巴基学派的诞生，源于韦伊与嘉当在斯特拉斯堡教授微积分时的实践。他们对于如何以最佳方式讲授课程内容产生了共识，并提议与在其它大学任教的朋友（如德尔萨特、谢瓦莱（Claude Chevalley）、迪厄多内等）定期在巴黎聚会，共同决定此事。这个小组不久便自称为布尔巴基。

他们的初衷，深刻植根于一战对法国数学造成的惨痛断层——1880至1900年出生的数学家幸存者寥寥，年长数学家的兴趣又相对局限，导致法国数学与国际前沿发展脱节。

布尔巴基的目标是组织具有法国特色的基础数学，以最严谨、最公理化的方式，撰写一部百科全书式的著作。

韦伊是这一事业的核心推动者，他不仅参与组织决议，还亲自撰写了关于《拓扑群上的积分及其应用》 的重要卷册（1940年出版），尽管其中处理积分的方式后来被发现有需修正之处。

布尔巴基的著作及其 “从一般到特殊” 的原则，对二战后的法国乃至全球数学教育产生了深远影响，成功地助力了法国数学的重建。

在斯特拉斯堡期间，韦伊指导了两位研究生。埃丽莎白·卢茨（Elisabeth Lutz）在其指导下，关于p进域上椭圆曲线有理点的研究得出了重要结果，即后来的纳格尔-卢茨定理（Nagell–Lutz Theorem），该定理使得计算椭圆曲线上有限阶有理点成为可能。另一位学生雅克·费尔德伯（Jacques Feldbau）在拓扑学方面做出了工作，不幸后来死于集中营。

03 战争、囚徒与创造的巅峰

二战阴云笼罩下，基于其印度哲学信仰（认为不服从非正义的法律不仅是权利也是义务），并担忧重蹈一战法国数学人才凋零的覆辙，韦伊毅然选择逃避兵役，携家人先后流亡英国、挪威、丹麦、瑞典与芬兰。

1939年春，他与夫人埃韦利娜接受拉尔斯·阿尔福斯（Lars Ahlfors）的邀请访问芬兰。然而，命运多舛，他竟被误认为是苏联间谍而遭逮捕，一度面临被枪决的危险（尽管近年有历史研究对其即将被处决的说法提出质疑，但韦伊本人始终坚信），经奈旺林纳（Rolf

Nevanlinna）等人斡旋后才被缩短刑期，引渡回法国。

奈旺林纳

返回法国后，韦伊仍因逃兵役被判五年监禁。1940年初，他在法国鲁昂的监狱中服刑。狱中，他潜心研究，仅用三个月便证明了曲线上的黎曼猜想，并幽默地对妻子表示“在狱中多待些时间也不错”。

实际上，这段囚徒岁月竟成了他数学创造的爆发期。在狱中，他完成了多项里程碑式的工作：

勾勒出有限域上曲线的黎曼猜想（Riemann

Hypothesis for curves over finite fields）的证明方案：这是他1940年一篇著名短文的蓝图，文中概括地叙述了解法，所有事情都建立在一个重要引理之上，为此后系统证明奠定了基础。

校对了他的著作《拓扑群上的积分及其应用》的清样。

改进了布尔巴基关于积分的手稿。

认识到并开始着手为任意域上的代数几何建立坚实根基：他意识到需要重新构造整个代数几何的定义和基本结果，特别是相交理论，这最终催生了巨著《代数几何基础》（1946年）。

他后来幽默地称这本书“有些枯燥”，并在二十年后被格罗滕迪克（Alexander

Grothendieck）“更巨大并且更枯燥的”《代数几何原理》所代替。

不久后法德开战，法国迅速溃败，韦伊以囚犯身份经敦刻尔克撤退至英国，最终于1941年辗转抵达美国，与艾伦多弗合作完成高维高斯-博内公式的非内蕴形式证明。1945年前往巴西圣保罗大学任教。1947年，他获得芝加哥大学教授职位。1958年转至普林斯顿高等研究院，在那里度过了最后四十年。

04 学术盛年：从芝加哥到普林斯顿

韦伊移居美国，标志其学术生涯进入黄金期。

在芝加哥大学，他通过布尔巴基学派推广结构主义思想，并与扎里斯基(Oscar Zariski)

合作推动代数几何的抽象化；在普林斯顿高等研究院，他提出韦伊猜想，奠定现代代数几何的基础。与扎里斯基 (Oscar Zariski)、陈省身 (Shing-Shen Chern)、外尔 (Hermann

Weyl) 等数学家的合作，进一步拓展了数学的边界。

日后成为数学大师的日本学者小平邦彦（Kunihiko Kodaira）曾到芝加哥大学访问，主要目的就是与韦伊讨论。据小平邦彦回忆，韦伊极为聪明，每天中午一起吃饭时，韦伊就会给他们出一些数学题目，常常让他感到有些狼狈，但他坦言从韦伊教授那里学到的知识，比在普林斯顿访问时多出三倍。韦伊还酷爱散步，且步履极快，他习惯于一边快速行走，一边与同行者热烈地讨论数学问题，这种充满活力的学术交流方式给所有与他接触过的学者留下了深刻印象。

1958年，韦伊转至普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study），在那里度过了稳定的十八年，直至1976年退休。研究院给予他充分的自由，使他能心无旁骛地徜徉于思想的宇宙。

安德烈·韦伊

移居美国期间，韦伊的创造力喷薄而出，其在数学上涉足之广是惊人的，这里对几个重要贡献稍做剖析：

提出韦伊猜想（Weil Conjecture)：1949年，韦伊在《有限域上的代数簇》中提出核心设想：能否将有限域上的算术问题与复数域上的几何问题建立关联？在复数域中，代数簇可借助奇异上同调等成熟拓扑工具，通过“孔洞数量”等拓扑不变量清晰描述几何性质；但有限域具有离散性（数字间无连续过渡），无法直接应用这套拓扑工具。韦伊提出以zeta函数作为连接两者的桥梁，并基于此提出四个相互关联的猜想，后世合称“韦伊猜想”。

四个猜想的逻辑关系与核心内容如下：

基础性质：zeta函数并非复杂的超越函数，而是可表示为两个有理多项式的比值；

对称性：zeta函数满足类似黎曼zeta函数的函数方程——通过简单变量替换即可实现函数对称；

核心限制（类黎曼假设）：zeta函数的零点与极点的绝对值必为q的半整数次幂；该限制可精准划定代数簇在不同扩张域上的点数范围，解决高维簇点数无规律的核心难题；

理论预见：存在适用于有限域代数簇的上同调理论——类似复数域的奇异上同调，能使zeta函数的零点、极点恰好对应该上同调群中弗罗贝尼乌斯算子的特征值（弗罗贝尼乌斯算子可视为有限域中的“对称变换”，能精准反映代数簇的算术对称性）。

这组伟大的猜想，其意义远超出问题本身。它直接催生了由亚历山大·格罗滕迪克发起并领导的、波澜壮阔的代数几何革命。

为了攻克韦伊猜想，格罗滕迪克发展了概形理论、上同调理论等一系列极其抽象的强大工具，这些工具极大地改变了20世纪下半叶数学的整体面貌。后来皮埃尔·德利涅（Pierre

Deligne）对韦伊猜想的最终证明，以及格尔德·法尔廷斯在莫德尔猜想上的突破，其思想源泉与理论基础，都深深植根于韦伊的远见卓识与格罗滕迪克所构建的宏伟框架之中。

代数化重构现代数论。此前，代数数论（尤其是类域论）严重依赖解析工具，理论结构松散。1940年韦伊出版《代数数论》，实现三大突破性贡献：引入局部-整体原则（local-global principle），通过p进数域等“局部性质”研究整体数域；系统运用赋值理论与局部紧群表示，摆脱对解析方法的依赖，将类域论彻底代数化；该书成为此后半个多世纪数论研究的标准教材，同时为朗兰兹纲领提供了代数与表示论基础。

重构类域论（Class Field Theory）。引入了韦伊群（Weil Group），这一工具比伽罗华群（Galois Group）更具灵活性，统一了阿廷（Emil Artin）的非阿贝尔L函数和赫克（Erich Hecke）的具有“大特征”的Hecke L函数，并促进了上同调方法的发展。

支撑朗兰兹纲领的基石。韦伊提出两个关键概念，直接支撑朗兰兹纲领的构建：

韦伊群：修正伽罗瓦群的构造，使其具备拓扑群结构，从而可与李群、自守形式建立关联，成为朗兰兹对应中的核心对象；

函数域与数域的类比：系统论证函数域（如有限域上曲线的函数域）与数域（如有理数域的代数扩张）在算术性质上的深刻相似性；该类比使代数几何方法可迁移至数论领域，推动“算术黎曼-罗赫定理”的建立，并为朗兰兹纲领在函数域情形下的证明铺平道路。

受西格尔启发，他系统发展了adèle方法，研究了metaplectic群及其表示（韦伊表示，Weil representation），并对二次型的西格尔公式提出了新观点。

在赫克理论方面，他证明了狄利克雷（Dirichlet）级数及其“扭曲”的函数方程可用来刻画模形式，建立了模形式与狄利克雷级数之间的精确对应。这一成果直接孕育了影响深远的朗兰兹纲领。

著名的谷山-志村猜想（Taniyama–Shimura

Conjecture，关于椭圆曲线与模形式的联系）的精确形式，也深深得益于韦伊的洞察，而这一猜想后来正是安德鲁·怀尔斯（Andrew

Wiles）证明费马大定理的关键。

他把对素数的一些求和公式和对zeta函数零点的另一些求和式联系起来，明显看出阿基米德位和非阿基米德位之间的类比，并把黎曼猜想归结为某个分布的正性。

他在凯勒（Kähler）几何、齐性空间、离散群形变（证明了刚性定理）等方面均有奠基性工作。他还与艾伦多弗一起给出并证明了黎曼多面体的高斯-博内公式，并证明了德拉姆（de

Rham）定理。

韦伊的研究一个重要部分受到证明经典黎曼假设的艰难尝试的启发。他曾在1979年的一次采访中说：“在过去有时我曾想，如果我能证明黎曼假设，那是1859年提出的，我将保密直到1959年，它的提出一百周年时再公布。自1959年以来，我感到力不从心，我没有遗憾地逐渐放弃了。”这或许是他少数感到遗憾的事情之一。

韦伊坚持高标准，甚至对奖项也是如此。他早期反对在法国设立某些特定奖金，认为弊大于利，但似乎不反对表彰终身成就。他珍视1994年获得的京都奖（一个表彰终身文化贡献的大奖）。此外，他还是1979年沃尔夫奖（与让·勒雷（Jean Leray）分享）和1980年美国数学会斯蒂尔终身成就奖得主。斯蒂尔奖的荣誉状恰当地概括了他的生涯：“鉴于在20世纪数学的一般进程中，他所做的工作卓有成效，特别是做出了基础性贡献的领域如此众多……”

05 史家情怀与晚年心境

韦伊不仅是一位创造者，也是一位深邃的阐释者与历史学家。他精通数学史，文笔清晰而富有见地。

他为布尔巴基所写的 《数学史注记》 堪称典范。他的 《数论：从汉谟拉比到勒让德的历史》 等著作，展现了他剥离后世技巧、直抵思想源头的非凡能力。他乐于在历史的长河中，与高斯（Carl Friedrich Gauss）、雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）、爱森斯坦（Gotthold Eisenstein）等先贤进行跨越时空的对话。

对他而言，思想史远比私人生活和社会关系重要，这种清新的看法使得他的历史著作兼具学术深度与阅读乐趣。他的小册子《按Eisenstein和Kronecker的方式论圆函数》（1976年）即是他以“十分愉快的心情”写成的数学与数学史结合的典范。

然而，这位智力上的巨人，晚年却笼罩在忧伤之中。与他相伴多年的夫人先他而去，这对他打击沉重。加之年事已高，身体日渐衰弱，他的最后几年是在对亡妻的思念与对生命消逝的感伤中度过的。

1998年8月6日，安德烈·韦伊在普林斯顿安然离世，享年92岁。对于他，死亡或许是一种解脱，让他从尘世的羁绊中挣脱，回归到他一生追寻的、永恒而纯粹的数学理念世界。