概念

在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为 X × Y。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即 A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

假设集合 A={a, b}，集合 B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

举例

给出三个域：

D1 = { 张清玫，刘逸 }

D2 = {计算机专业，信息专业}

D3 = {李勇，刘晨，王敏}

则 D1，D2，D3 的笛卡尔积 D = D1×D2×D3，等于：

{

  (张清玫, 计算机专业, 李勇),

  (张清玫, 计算机专业, 刘晨),

  (张清玫, 计算机专业, 王敏),

  (张清玫, 信息专业, 李勇),

  (张清玫, 信息专业, 刘晨),

  (张清玫, 信息专业, 王敏),

  (刘逸, 计算机专业, 李勇),

  (刘逸, 计算机专业, 刘晨),

  (刘逸, 计算机专业, 王敏),

  (刘逸, 信息专业, 李勇),

  (刘逸, 信息专业, 刘晨),

  (刘逸, 信息专业, 王敏)

}

这样就把D1、D2、D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有 2X2X3=12 个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

PHP代码 - 输出数组形式

function Descartes()

{

  $t = func_get_args();                  // 获取传入的参数

  if (func_num_args() == 1) {                // 判断参数个数是否为1

    return call_user_func_array(__FUNCTION__, $t[0]); // 回调当前函数，并把第一个数组作为参数传入

  }

  $a = array_shift($t);    // 将 $t 中的第一个元素移动到 $a 中，$t 中索引值重新排序

  if ( !is_array($a)) {

    $a = [$a];

  }

  $a = array_chunk($a, 1);   // 分割数组 $a ，为每个单元1个元素的新数组

  do {

    $r = [];

    $b = array_shift($t);

    if ( !is_array($b)) {

      $b = [$b];

    }

    foreach ($a as $p) {

      foreach (array_chunk($b, 1) as $q) {

        $r[] = array_merge($p, $q);

      }

    }

    $a = $r;

  } while ($t);

  return $r;

}

使用：

$arr = [

  [

    '张清玫',

    '刘逸'

  ],

  [

    '计算机专业',

    '信息管理与信息系统专业',

    '电子商务专业'

  ],

  [

    '2018级',

    '2017级'

  ]

];

$r = Descartes($arr);

效果：

array(12) {

 [0]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(15) "计算机专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [1]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(15) "计算机专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

 [2]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(33) "信息管理与信息系统专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [3]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(33) "信息管理与信息系统专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

 [4]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(18) "电子商务专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [5]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(9) "张清玫"

  [1]=>

  string(18) "电子商务专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

 [6]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(15) "计算机专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [7]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(15) "计算机专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

 [8]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(33) "信息管理与信息系统专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [9]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(33) "信息管理与信息系统专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

 [10]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(18) "电子商务专业"

  [2]=>

  string(7) "2018级"

 }

 [11]=>

 array(3) {

  [0]=>

  string(6) "刘逸"

  [1]=>

  string(18) "电子商务专业"

  [2]=>

  string(7) "2017级"

 }

}