EM算法实例

通过实例可以快速了解EM算法的基本思想，具体推导请点文末链接。图a是让我们预热的，图b是EM算法的实例。

这是一个抛硬币的例子，H表示正面向上，T表示反面向上，参数θ表示正面朝上的概率。硬币有两个，A和B，硬币是有偏的。本次实验总共做了5组，每组随机选一个硬币，连续抛10次。如果知道每次抛的是哪个硬币，那么计算参数θ就非常简单了，如

下图所示：

如果不知道每次抛的是哪个硬币呢？那么，我们就需要用EM算法，基本步骤为：

  1、给θ_AθA​和θ_BθB​一个初始值；

  2、（E-step）估计每组实验是硬币A的概率（本组实验是硬币B的概率=1-本组实验是硬币A的概率）。分别计算每组实验中，选择A硬币且正面朝上次数的期望值，选择B硬币且正面朝上次数的期望值；

  3、（M-step）利用第三步求得的期望值重新计算θ_AθA​和θ_BθB​；

  4、当迭代到一定次数，或者算法收敛到一定精度，结束算法，否则，回到第2步。

计算过程详解：初始值θ_A^{(0)}θA(0)​=0.6,θ_B^{(0)}θB(0)​=0.5。

由两个硬币的初始值0.6和0.5，容易得出投掷出5正5反的概率是p_A=C^5_{10}*(0.6^5)*(0.4^5)pA​=C105​∗(0.65)∗(0.45)，p_B=C_{10}^5*(0.5^5)*(0.5^5)pB​=C105​∗(0.55)∗(0.55), p_ApA​/(p_ApA​+p_BpB​)=0.449, 0.45就是0.449近似而来的，表示第一组实验选择的硬币是A的概率为0.45。然后，0.449 * 5H = 2.2H ，0.449 * 5T = 2.2T ，表示第一组实验选择A硬币且正面朝上次数和反面朝上次数的期望值都是2.2，其他的值依次类推。最后，求出θ_A^{(1)}θA(1)​=0.71,θ_B^{(1)}θB(1)​=0.58。重复上述过程，不断迭代，直到算法收敛到一定精度为止。

这篇博客对EM算法的推导非常详细，链接如下：

https://blog.csdn.net/zhihua_oba/article/details/73776553

Python实现

#coding=utf-8
from numpy import *
from scipy import stats
import time
start = time.perf_counter()

def em_single(priors,observations):
 """
 EM算法的单次迭代
 Arguments
 ------------
 priors:[theta_A,theta_B]
 observation:[m X n matrix]

 Returns
 ---------------
 new_priors:[new_theta_A,new_theta_B]
 :param priors:
 :param observations:
 :return:
 """
 counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}
 theta_A = priors[0]
 theta_B = priors[1]
 #E step
 for observation in observations:
  len_observation = len(observation)
  num_heads = observation.sum()
  num_tails = len_observation-num_heads
  #二项分布求解公式
  contribution_A = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
  contribution_B = stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B)

  weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
  weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)
  #更新在当前参数下A，B硬币产生的正反面次数
  counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
  counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
  counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
  counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

 # M step
 new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
 new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
 return [new_theta_A,new_theta_B]


def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000):
 """
 EM算法
 ：param observations :观测数据
 ：param prior：模型初值
 ：param tol：迭代结束阈值
 ：param iterations：最大迭代次数
 ：return：局部最优的模型参数
 """
 iteration = 0;
 while iteration < iterations:
  new_prior = em_single(prior,observations)
  delta_change = abs(prior[0]-new_prior[0])
  if delta_change < tol:
   break
  else:
   prior = new_prior
   iteration +=1
 return [new_prior,iteration]

#硬币投掷结果
observations = array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
      [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
      [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
      [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
      [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])
print (em(observations,[0.6,0.5]))
end = time.perf_counter()
print('Running time: %f seconds'%(end-start))